Ultima modifica: 26/02/2024
Introduzione
Una distribuzione di probabilità continua è indicata con f(x) ed è solitamente chiamata Probability Density Function (PDF). È espressa da un’equazione e può essere rappresentata come nella figura qui a fianco. La curva a campana è solo un esempio di una possibile PDF.
La proprietà principale di una PDF è che:
La probabilità che x assuma valori compresi tra a e b è valutata come il seguente integrale della Probability Density Function:
Questa probabilità è mostrata nella figura qui a fianco.
La Probability Density Function è anche chiamata Failure Density o anche Life Distribution.
La distribuzione di una variabile continua può essere descritta anche dalla funzione di distribuzione cumulativa. Questa fornisce la probabilità che la variabile casuale assuma un valore minore o uguale a x. La sua espressione è:
Per -∞< x <+∞.
F(x) è una funzione non decrescente: F(-∞) = 0 e F(+∞) = 1 , quindi:
La derivata della funzione di distribuzione cumulativa è la Probability Density Function (o failure density) della variabile casuale X:
La relazione tra la Cumulative distribution function F(x) e la Probability Density Function f(x) è mostrata nella figura qui sotto.
Queste definizioni per F(x) permettono di esprimere P( a ≤ X ≤ b ) come segue:
Poiché ragioniamo in termini di tempo e il tempo è una variabile casuale positiva, la funzione di distribuzione cumulativa può essere scritta nel modo seguente:
E
La funzione di affidabilità R(t)
R(t) è la probabilità che non si verifichi alcun guasto nell’intervallo (0 t].
In altri termini, R(t) è la probabilità che un elemento funzioni “senza guasti” nell’intervallo di tempo (0, t], mentre il guasto si verificherà in (t, . Conoscendo la funzione di densità di probabilità f(x), si ha:
Se il sistema può trovarsi in due soli stati, o di corretto funzionamento o di guasto, possiamo definire la funzione di inaffidabilità F(t) come complementare a R(t), cioè:
La funzione di densità f(t) può ora essere espressa come:
Esempio di calcolo del PFD medio
Vogliamo calcolare il PFDavg di un circuito di sicurezza in low demand che coinvolge un trasmettitore di pressione, una barriera analogica, due moduli di sicurezza elettronici in serie e la funzione di STO (Safe Torque Off) di un azionamento.
È necessario recuperare i dati di affidabilità dal datasheet di ciascun componente; ad esempio, è necessario conoscere λDU, SFF e il tipo di componente. È poi necessario stabilire la struttura di ciascun sottosistema e il periodo di Proof Test Ti.
Di seguito un esempio di dati:
Il PFDavg della struttura 1oo1 può essere calcolato con la seguente formula, risultata dall’integrale contenuto al paragrafo 2.2 della IEC 61508-4 Termini e definizioni
Il SIL di architattura di ciascun sottosistema è stato fissato usando le tabelle 2 e 3 della cosiddetta Route 1H.
Il PFDavg_TOT del loop è la somma dei PFDavg di ciascun sottosistema.
Il sistema raggiunge SIL 2.