Ultima modifica: 20/08/2025
Introduzione
Una distribuzione di probabilità continua è indicata con f(x) ed è solitamente chiamata Probability Density Function (PDF). È espressa da un’equazione e può essere rappresentata come nella figura qui a fianco. La curva a campana è solo un esempio di una possibile PDF.
La proprietà principale di una PDF è che:
La probabilità che x assuma valori compresi tra a e b è valutata come il seguente integrale della Probability Density Function:
Questa probabilità è mostrata nella figura qui a fianco.
La Probability Density Function è anche chiamata Failure Density o anche Life Distribution.
La distribuzione di una variabile continua può essere descritta anche dalla funzione di distribuzione cumulativa. Questa fornisce la probabilità che la variabile casuale assuma un valore minore o uguale a x. La sua espressione è:
Per -∞< x <+∞.
F(x) è una funzione non decrescente: F(-∞) = 0 e F(+∞) = 1 , quindi:
La derivata della funzione di distribuzione cumulativa è la Probability Density Function (o failure density) della variabile casuale X:
La relazione tra la Cumulative distribution function F(x) e la Probability Density Function f(x) è mostrata nella figura qui sotto.
Queste definizioni per F(x) permettono di esprimere P( a ≤ X ≤ b ) come segue:
Poiché ragioniamo in termini di tempo e il tempo è una variabile casuale positiva, la funzione di distribuzione cumulativa può essere scritta nel modo seguente:
E
La funzione di affidabilità R(t)
R(t) è la probabilità che non si verifichi alcun guasto nell’intervallo (0 t].
In altri termini, R(t) è la probabilità che un elemento funzioni “senza guasti” nell’intervallo di tempo (0, t], mentre il guasto si verificherà in (t, . Conoscendo la funzione di densità di probabilità f(x), si ha:
Se il sistema può trovarsi in due soli stati, o di corretto funzionamento o di guasto, possiamo definire la funzione di inaffidabilità F(t) come complementare a R(t), cioè:
La funzione di densità f(t) può ora essere espressa come:
Il tasso di fallimento λ
Il tasso di guasto è la base della teoria della sicurezza funzionale.
[IEC 61508-4] 3.6 Guasto, guasto ed errore
3.6.16 Tasso di guasto . Parametro di affidabilità λ(t) di un’entità (singoli componenti o sistemi) tale che λ(t)dt sia la probabilità di guasto di questa entità entro [t, t+dt] a condizione che non si sia guastata durante [0, t].
Matematicamente, λ(t) è la probabilità condizionata di guasto per unità di tempo su [t, t+dt]. È possibile dimostrare che il tasso di guasto istantaneo è:
Utilizzando l’equazione 1.4.4, è possibile ottenere:
Integrando l’equazione superiore nel tempo:
I tassi di guasto e le relative incertezze possono essere stimati tramite il feedback sul campo, utilizzando statistiche convenzionali.
Il modello più diffuso e noto per il tasso di guasto è la curva “a vasca da bagno”. Nella fase iniziale del ciclo di vita di un componente, λ(t) diminuisce rapidamente nel tempo; questo fatto deriva dall’esistenza di una frazione “debole” della popolazione i cui difetti causano un guasto entro un breve periodo di tempo dal momento in cui vengono prodotti.
Nel periodo chiamato vita utile , λ(t) è approssimativamente costante, nel caso ad esempio dei componenti elettronici. Per i componenti elettromeccanici, λ(t) è una funzione del tempo e, in questo intervallo, aumenta costantemente.
L’ultimo periodo è caratterizzato da un’usura , con un tasso di guasto λ(t) in rapido aumento causato dall’usura, dall’invecchiamento e dalla fatica.
Durante la vita utile di un componente con tasso di guasto costante , considerando come condizione iniziale che l’affidabilità al tempo 0 sia massima e pari a 1, si ha:
La funzione di affidabilità R(t) è mostrata nella Figura 1.13a {1.5.2a} e le funzioni di densità di probabilità f(t) nella Figura 1.13b {1.5.2b}, nel caso λ = costante.
La Tabella 1.3 {1.5.1} mostra un riepilogo delle quattro funzioni descritte finora.
La figura 1.14 {1.5.3} mostra la relazione tra F(t) e R(t)