Dernière modification: 20/08/2025
Introduction
Une distribution de probabilité continue est indiquée par f(x) et est généralement appelée fonction de densité de probabilité (PDF). Elle est exprimée par une équation et peut être représentée comme dans la figure 1.5 {1.4.2.1}. La courbe en cloche n’est qu’un exemple de PDF possible.
La principale propriété d’un PDF est que :
La probabilité que x prenne des valeurs comprises entre a et b est évaluée comme l’intégrale suivante de la fonction de densité de probabilité :
Cette probabilité est illustrée dans la figure 1.6 {1.4.2.2}.
La fonction de densité de probabilité est également appelée densité de défaillance ou distribution de durée de vie.
La distribution d’une variable continue peut également être décrite par la fonction de distribution cumulative . Celle-ci donne la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur inférieure ou égale à x. Son expression est :
Pour – ∞< x <+ ∞.
F(x) est une fonction non décroissante : F(-∞)=0 et F (+∞)=1 , donc :
La dérivée de la fonction de distribution cumulative est la fonction de densité de probabilité (ou densité de défaillance) de la variable aléatoire X :
La relation entre la fonction de distribution cumulative F(x) et la fonction de densité de probabilité f(x) est illustrée dans la figure 1.8 {1.4.3.1}.
Ces définitions pour F(x) permettent d’exprimer comme suit :
Puisque nous raisonnons en termes de temps et que le temps est une variable aléatoire positive, la fonction de distribution cumulative peut s’écrire de la manière suivante :
La fonction de fiabilité R(t)
R(t) est la probabilité qu’aucune défaillance de l’élément ne se produise dans l’intervalle (0 t].
En d’autres termes, R(t) est la probabilité qu’un élément fonctionne « sans défaillance » dans l’intervalle de temps (0, t], tandis que la défaillance se produira dans (t, . Connaissant la fonction de densité de probabilité f(x), nous avons :
Si le système ne peut être trouvé que dans deux états, soit un fonctionnement correct, soit une défaillance, nous pouvons définir la fonction de non-fiabilité F(t) comme complémentaire de R(t), c’est-à-dire :
La fonction de densité f(t) peut maintenant être exprimée comme :
Intégration de l’équation supérieure dans le temps :
Les taux d’échec et leurs incertitudes peuvent être estimés à partir des retours d’expérience sur le terrain, en utilisant des statistiques conventionnelles.
Le modèle le plus répandu et le plus connu pour le taux de défaillance est la courbe dite « en baignoire ». Dans la phase initiale de la durée de vie du composant, λ(t) diminue rapidement avec le temps ; ce phénomène résulte de l’existence d’une fraction « faible » de la population dont les défauts provoquent une défaillance dans un court laps de temps à compter de leur apparition.
Durant la période appelée durée de vie utile , λ(t) est approximativement constant, par exemple dans le cas des composants électroniques. Pour les composants électromécaniques, λ(t) est une fonction du temps et, durant cet intervalle, il augmente constamment.
La dernière période est caractérisée par une usure , avec un taux de défaillance λ(t) en augmentation rapide causé par l’usure, le vieillissement et la fatigue.
Pendant la durée de vie utile d’un composant à taux de défaillance constant , en considérant comme condition initiale que la fiabilité à l’instant 0 est maximale et qu’elle est égale à 1, nous avons :
La fonction de fiabilité R(t) est représentée dans la Figure 1.13a {1.5.2a} et les fonctions de densité de probabilité f(t) dans la Figure 1.13b {1.5.2b}, dans le cas λ = constante.
Le tableau 1.3 {1.5.1} présente un résumé des quatre fonctions décrites jusqu’à présent.
La figure 1.14 {1.5.3} montre la relation entre F(t) et R(t)